( 84 ) 

 qui représente la sphère. On tire, de l'équation donnée : 



q= 



Par conséquent, 



^zdz = 2zpdj- -i- 2 (1 — 3^— jrz-)' * dij. 



Le premier membre est une différentielle exacte; il en sera de 

 même du premier terme du second, si l'on fait p^ = (« — x). 

 Dans cette hypothèse, soit 



il viendra 



2(1 — vy'uiij = dv, 

 ou 



i\-v) = iu-by-. 

 Donc enfin : 



z^-h(x — af-^- (y — bf= 1. 



Remarque. Dans les divers exemples que nous venons de traiter, 

 nous avons toujours employé la méthode du n° 58, qui consiste 

 à tirer la valeur ôep de la solution n =a, de l'une des équations 

 auxiliaires. Nous savions à priori que nous devions arriver de 

 cette manière à rendre dz =^pdx -+- qdy intégrable. Nous venons 

 de voir « posteriori qu'il est bien ainsi. 



41. Quelques exemples dépendant de rintégration de deux des 

 équations auxiliaires. I. Considérons les équations auxiliaires : 



dx dy dp 



Ces équations seront intégrables si 



-— el — -4- » — 



^p ^œ ^z 



sont des fonctions de x, y et p seulement. Il suffît pour cela 

 que z entre dans q au premier degré et soit multiplié par une 

 fonction de y seul; autrement dit que 



q=F (x,y.p}-{- z'^ij. 



