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D'aulrc part, q = anz donne 



fdz 



J ^- 



Pour que ces deux relations soient identiques, il faut que 



'\>\j ^= — ay -\- b, XX =■ — x -A- b. 

 Donc, enfin, l'intégrale complète est: 



X -\- ay — h = / — ■ ' 



Cette solution ingénieuse est due à Lagrange (*). 



Application géoméiricjue. Trouver Véquaiion iVune surface 

 dans laquelle la longueur de la normale comptée jusqu'au plan 

 des xy soit égale à l'unité. L'équation du problème est : 



z^ {\ -t-jr-+-fy2) = l. 

 Posons 



. p=z ,TZ^ q = azz , 

 on aura : 



rZ' 



La solution sera donc 



x-\-ay = b - \/l -+- «2 \/\ - z.\ 

 ou 



(x-^ ay — bY= (1 -+- a^) (1 - z^). 



C'est l'équation d'un cylindre de révolution, dont Taxe est rei)ré- 

 senté par les équations : 



; = , X -\- ay — & = 0. 



On trouve pour solution singulière, d'après la règle générale, 



; = ± 1. 



En procédant autrement, on arrive à une intégrale complète 



(*) Mémoires de Berlin, 177:>, OEuvres, t. III, 7'"^ cas, p. :i66 ; 177-i, 

 Œuvres, t. IV, n« 51, p. 81. 



