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Remarque. La méthode de Lagrange comporte une double ex- 

 tension dans le cas où le nombre des variables est supérieur à 

 trois. On peut ramener la question à la détermination d'une inté- 

 grale d'une équation analogue à (16), telle qu'elle soit en même 

 temps l'intégrale de l'équation donnée; c'est ce qu'a fait Jacobi, 

 dans son extension de la méthode de Lagrange, comme on le verra 

 au chapitre suivant. Cette méthode exige l'intégration complète 

 des équations (HJ , (1 U) ou (15„). Mais Jacobi a trouvé une autre 

 extension de la méthode de Lagrange, qui mérite le nom de mé- 

 thode de Jacobi j et qui est fondée sur Vintégration incomplète 

 d'un certain nombre de systèmes d'équations analogues à (15J. 

 Cette méthode sera exposée dans la seconde partie de ce mémoire. 



§ 10, Eacetnpics (*). 



39. Exemple d'application de la méthode du n" 57. Soit 



z = pq 



l'équation donnée. Les équations auxiliaires: 



dx du dz dp 

 q ~ p ~ 2p7 ~ p 



(*) Le premier de ces exemples, qui a été admirablement choisi par La- 

 grange , comme application de la méthode générale , se trouve dans les 

 Leçons, etc., p. 595. La classification des autres est due à Legendre (Mé- 

 moires de l'Académie de Paris, 1787 : Mémoire sur l'intégration des équations 

 aux différences partielles^ pp. 309-551 ;§ IX, pp. 557-548 : Des équations non 

 linéaires du 4^^ ordre), résumé par Lacroix, t. n,n"' 742-747, pp. 5d0-o64. 

 Les cas particuliers, où Ton parvient à terminer les calculs, ont été empruntés 

 par l'un et l'autre, à Lagrange, Mémoires de lîerlin, 1772, 1774, 1785. 

 Jacobi (Journal de Crelle, t. XXIII, p, 2 ) fait remarquer que plusieurs de ces 

 exemples traités par Lagrange avaient déjà été résolus par Euler, au moyen 

 d'artifices particuliers. Nous faisons aussi quelques emprunts à Boole, Treatise, 

 ch.XIV. Pour abréger, nous avons laissé de côté les raisonnements de Lacroix 

 relatifs à une méthode générale, pour découvrir de nouveaux cas d'inlégra- 

 lion (t. Il, n" 745, p. 558), et l'exemple qu'il en donne, savoir 



z i iqxz \ 



On intègre celte équation en posant aij = qxz (t. II , p 561). 



