( ^^7) 



Remarques. I. Si P = en vertu de l'équation donnée, la mé- 

 thode précédente donne pour une intégrale des équations auxi- 

 liaires, z = Z(i. Dans ce cas, on ne trouve plus directement d'inté- 

 grale complète, comme il est facile de le voir, et comme nous le 

 montrerons à propos de la méthode de Cauchy, où la même 

 exception se présente. 



II. Au lieu de prendre pour nouvelles variables les u et z, on 

 peut prendre les u et un quelconque des x, ce qui rapproche 

 davantage la méthode de Pfaff modifiée par Jacobi , de celle de 

 Cauchy. La principale différence entre les deux méthodes con- 

 siste en ce que Cauchy emploie {n — i) nouvelles variables fonc- 

 tion des anciennes , et n constantes arbitraires dès le commence- 

 ment des calculs, tandis que Pfaff et Jacobi emploient (2/i — \) 

 nouvelles variables et sont forcés, dans la suite des calculs, d'en 

 faire n égales à des constantes, ou au moins, comme nous venons 

 de le voir, d'égaler n fonctions de ces variables à des constantes, 

 ce qui revient au même. 



54. Simplification de la méthode générale de Pfaff par Ja- 

 cobi (*). Nous avons indiqué plus haut (n° 55), comment Jacobi, 

 en s'aidant des travaux de Hamilton, a ramené l'intégration de 

 l'équation (2) à celle du seul système (a). Nous allons faire con- 

 naître comment il a pu, d'une manière analogue, former immé- 

 diatement toutes les équations auxiliaires , dont on a besoin dans la 

 méthode générale de Pfaff, pour intégrer une équation différen- 

 tielle totale. 



Soit xln une valeur de Xj,,, pour laquelle x^ , Xa, ..., Xi;„_i pren- 

 nent les valeurs xi', x'â, ... , x^„_i. Posons : 



X, =XÏ -\-{0^,n-xL)^i^ X, =X° ^{x,,^ — xl,)^„ 



X^ =Xl -t-(^2„— <J?2, ^2 =^2 + (^2.-^2.) 3î, 



^2n— 1= ^2M— 1 "♦" \^2n — ^in) Ça»— 1 , Xjn—i = X2„_i H- (^21 '^2n/ «2n — 1, 



(*) Jacobi, yourna/ de Liouville, t. III, pp. 194-201 , § XII du mémoire. [Le 

 sujet traité dans ce numéro et le suivant ne fait pas, à proprement parler, 

 partie du sujet de ce mémoire.] 



