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Et ainsi de suite. Il est clair que l'on peut continuer de cette ma- 

 nière la formation des systèmes d'équations auxiliaires et arriver 

 au système intégral : 



Remarque. Il y a une grande simplification si 

 Xj = 0,...,X„-_r = 0. 

 Dans ce cas, quand on sera arrivé à une équation de la forme : 



on pourra s'arrêter. On aura , en effet, déjà r relations : 



et l'on pourra en outre poser immédiatement, pour intégrer la 

 dernière transformée : 



Dans le cas des équations aux dérivées partielles , cela arrive 

 après la première transformation parce que l'on a r = (n — 1). 



55. Problème inverse de celui de Pfaff(*). Soient 



{*)iACOBi, Jour liai de LiouviUe,l.lU, pp. 183-194, § XIV du mémoire, donne 

 le théorème de ce numéro, sans employer le calcul des- variations. Dans le 

 § X, pp. 182-185, il démontre le théorème correspondant pour les équations 

 auxiliaires {a'). Nous avons cru préférable, pour ne plus revenir sur la 

 méthode dePfalT, de placer ici le théorème général , en employant les notations 

 du calcul des variations pour plus de brièveté, et de donner comme cas parti- 

 culier le théorème relatif aux équations (a'). Notre démonstration générale 

 est imitée de celle de Jacobi , Vorlesungen, pp. 372-373. 



Nous avons laissé de côté tout ce qui se rapporte aux équations de la forme 

 indiquée dans la remarque II , pour ne pas entrer dans les théories de la dyna- 

 mique supérieure, ce qui aurait trop allongé notre travail. 



