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n relations satisfaisant à l'équation différentielle totale 



X^f/JT^H h X2,,dJ'2,, = , (o) 



de sorte que 



Posons, en outre, les n relations 



X,^ + .-- + X„^ + ;;3, = 0, (7J 



.X,i^H-... + x,^-f-;,/3. = (7J 



où 3i , ... , ?>n ^^^^ ^^ nouvelles constantes. Les équations (6) et (7), 

 après élimination de i , contiennent (2n — 1) constantes a,, ..., a„, 

 i^'"*' iT"' ^^ sont les intégrales des(2;i — 1) équations rencon- 

 trées par Pfaff dans la recherche de l'intégrale de (5). 



Imaginons, en effet, que l'on déduise des équations (G) et (7) 

 les variables x en fonction de i , des a et des (3. Faisons varier 

 dans les équations (G) et (7) a et p de Sa et c?|3, les x varieront de 

 (?x. Cela posé, multiplions les équations (Gj), ..., (G„), (7,), ..., (7„) 

 respectivement par êx,,^^^ , ^Xn+%-> ..• , f^J^a» » ^^i ? .- 5 ^«^ j en ajoutant 

 les résultats, il viendra à cause de (4) , 



X.^a:, -^•••-f-X2„'J\r2„+ a(,Vj:, H h;3„.JcxJ = 0. ... (8) 



Dérivons par rapport à A, et cette équation donnera : 



2XJ hl--^x-^1.3da = (9) 



cl>. dx 



En multipliant les équations (6) par ^"^"^S — '-|f , et ajoutant les 

 résultats, on trouve la relation suivante, évidente d'ailleurs 

 d'après (5) : 



x.^ + ... + x,„^ = o, 



