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Considérons les termes contenant des dérivées du second ordre 

 de M; ils seront de l'une des formes 



^XiSpj ^Xj S Pi ^XiSXj ^pi Spj ^Pi^Pj S Xi Sxj 



l pouvant être égal à J, et chacun d'eux proviendra du second ou 

 du troisième terme de l'équation (e). 



En examinant maintenant chacune de ces formes, il est aisé de 

 voir que, à chaque terme provenant du second terme de l'équa- 

 tion (e), en correspond un semblahle, mais affecté d'un signe 

 contraire, provenant du troisième terme de cette équation; et 

 comme la chose est vraie pour les termes où entrent les dérivées 

 secondes de N et de R, il s'ensuit que le premier membre de 

 l'équation (e) tout entier se réduit identiquement à zéro. Donc le 

 théorème est démontré. » 



<:< 18. Foi^inos tlivefscs fies condition» d'inlégi'abililé d''wne équa- 

 tion aux déi'ivécs partielles {*). 



6t. Première forme des conditions d'intégrabilité (**). Soit 



lil{x,,X.^,...,Xn,Pt,p.2,...,Pn) = ai (Hi) 



une équation aux dérivées partielles à intégrer, p^, p.^, ... , /)„ dési- 

 gnant comme plus haut les dérivées d'une fonction inconnue z, 

 par rapport a Xi, x^, ..., x„. On a : 



dz = PidXi -i- p./Ix.2 H H p„dx„ . 



Pour trouver une intégrale complète de l'équation donnée, il 



(*) Résumé de Jacobi, Nova methodus , §§ 2-17 et 50-32. Ce résumé se 

 trouve également dans Imschenetsky, §§ 10-11 , pp. 32-56; § 15, pp. 41-42; 

 § 15, pp. 43-48; § 17, pp. 53-62; §§ 20-22, passim ; Graindorge, III, 

 pp. 13-50; IV^ pp. 50-53; Vil , passim. Nous croyons qu'il vaut mieux réunir 

 tous les théorèmes du même genre , comme nous l'avons fait ici , que d'en 

 mêler quelques-uns à la méthode d'intégration elle-même. 



(**) Jacobf, Nova melh., § 2. Nous ajoutons la forme (F). 



