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suffira d'avoir, outre cette équation, (/i — i) autres relations de 

 même forme, contenant chacune une constante arbitraire 



U^{x^,...,Xn,Pi,...,Pn) = a^ (Ha) 



H3(a7i,...,a;„,pi,... , pj = flg, (H.) 



l^n{œ,,...,XnyPi,...,Pn) = a„, (H„) 



pourvu que les valeurs de pi,pi, ... ,p„, déduites de ces équa- 

 tions (H), 



p^ = r^{Xi,X2,... ,x„,ai,a^,... ,an), (^j) 



P«=^n(^l»^2J •••'^n, «1,02, ■••)««)> (^/l) 



rendent dz intégrable. En effet, s'il en est ainsi, on pourra trouver, 

 par une simple quadrature, une expression pour js, contenant, 

 outre les {n — i) constantes arbitraires a^, ctz, — , «„-<, une w'*"'' 

 constante arbitraire provenant de l'intégration de dz. L'expression 

 de z satisfera non-seulement à l'équation donnée, mais à tout le 

 système H. 



Les conditions d'intégrabilité de dz, sont, comme on le sait, 



^Pi ^Pk STTi SXk ... 



-T— =-— OU —-=—-,.. (i) 



ôXk dXi àXk àXi 



l et k recevant les valeurs 1 , 2, 5 , ... , ?î. On remarquera que ces 

 conditions peuvent se mettre sous la forme 



(p.- — '-^mPa — n) = o (!') 



6^. Seconde forme des conditions d'intégrabilité (*). On 

 obtient cette seconde forme en remarquant que l'on a 



[H,-,H,] = (a.-,a,) = 0, 



(*) Jacobi, Nova meth., §§ 14-16. La relation qui conduit au théorème 

 direct étant résolue par rapport à ^y— 7 — -j-^' conduit au théorème réciproque. 

 C'est ainsi que fait Jacobi dans le § 16, résumé par Graindorge, IV, pp. 30-3o. 

 Nous avons suivi Jacobi pour la démonstration du théorème direct, comme 



