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et développant la première expression au moyen de la formule (6') 

 du § 46, où l'on fait 



Il vient ainsi : 



0= Hi, Ha.H-22 r— T— h; T— • 



à pi' épk' \dXk< àXi' I 



D'après les conditions (I), le second terme du second nombre est 



nul. Donc 



(H,, H,) = (11) 



Réciproquement les conditions {II) entraînetit les relations (/). 

 On a, en effet, identiquement : 



Pk = 7rk{Xy,...,Xn, H,,...,H„). 



Imschenetsky, § 11 , p. 35, et nous avons simplifié la démonstration donnée 

 par ce dernier, n" 40, p. 55 pour le théorème inverse. Dans le § 14 de la Nova 

 methodus, Jacobi donne une autre démonstration des formules (II), en se 

 basant sur les formules ^IV) données plus bas. Soient, 



Pi = 'fi(a;i, ...,afr„, 01,0.2, Pj, ...,Pn),p.^ =t2 (ïi, ••• ,x„,ai,a^,p.,...,pn). 

 Les relations 



Hi(Xi,...,x„,'fi,ta.P35-,Pj = «i,H3(xi,... ,x„.ti,t2»P3'--.PJ= a,, 

 seront des identités. On tire de là , pour H = Hj ou H = H^. 



Sac êf^i ex êf^^ Sx ' 



ou 



Sx ~ Spi Sx op. 2 êx 



puisque p,, p^ ne contiennent pas x explicitement. On a de même , 



oH _ êU_ ^(pi — 4^i) 5H_ ^(p-2— ^g) 

 op op, op op. 2 êp 



même pour p = pi ou p = 2. Il résulte immédiatement de ces formules 



\0Pi cp2 oPa ^Pi/ '^ 



ce qui donne l'équation (II) , quand Téquation (IV) existe. Celte démonstra- 

 tion nous semble peu naturelle, parce que les théorèmes (III) et (IV) sont plus 

 compliqués que II, ou au moins conduisent à des équations moins symétri- 

 ques. Il vaut mieux démontrer ces théorèmes II et IV, indépendamment les 

 uns des autres. 



