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 Donc, d'après la formule (8") du § 16, 



— i:77-i:7r-M'Hr^H,')-+-(r,.T,), 



Le premier terme du second membre est nul à cause des équa- 

 tions (2) ; le second est nul parce que tt^ et tt^ ne contiennent pas 

 les p explicitement. Donc la relation précédente se réduit à 



c'est-à-dire, à la condition (l). 



On arrive au même résultat, mais plus péniblement, au moyen 

 de la formule (6 ) du § JO (*). 



63. Troisième forme des conditions d'intégrabiiité (**). Sup- 

 posons que Ion déduise des relations (H) ou (a), les expressions 

 suivantes des p : 



p, = f,{x,,...,œ„,a,,p,,p.,...,Pn): ifj 



de sorte que chaque p est fonction des 2w lettres qui le suivent 



dans la série 



Pi , p2 , . . . , p„ . iTi , 0^2 , . . , a7„ , «1 , ffg , . . . , a„ . 



On aura identiquement : 



pi =fi {Xi,... .X,„ Hj,..., H,-, Pi+i, Pi+^>. ...,Pn), 

 Pk = ?k (a?! , . . . , a;,, , Hi , . . . , Ha , pk^i , Pa+2, ■ . . , Pn)- 



(*) [mscheinetsky, n° 40, pp. 55-57. 



{**) Jacobi, Nova methodus , §§ ô, 4, 5, Ihéorème direct; § 6, énonce gé- 

 néral; §§ 7 et 8, théorème inverse, résumé par Graindorge, n°' 24-26, 

 pp. 20-25. Imschenetsky donne le théorème direct sous une forme un peu 

 différente de celle de Jacobi, n" 41 , pp. 57-60 ; il évite la longue démonstra- 

 tion du théorème inverse, comme on le verra à pro{)OS des théorèmes (VI), 

 (VII) et (VIII), en note. Jacobi, Nova methodus, §§ 9, 10, 11 s'occupe de la 

 marche générale de l'intégration. 



