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 ou encore par 



SXi+l SXi+'i ^Xn 



puisque est tt,^ est identique à y„. On aura donc, au lieu de la 

 dernière égalité , 



SXn ^Xi SXn ^Xi 



c'est-à-dire, d'après (III), 



Jcc^~Jxi'~ 



Ainsi, la relation (I) subsiste pour l'indice n et l'indice i, si elle 

 subsiste pour l'indice ti, et les indices supérieurs à i. Or, elle est 

 évidente pour les indices n et ?i, donc aussi, de proche en proche, 

 pour les indices tiei(n — 1), net (n — 2), n et (n — 3),..., n et I. 



Supposons maintenant, pour démontrer le second point, que 

 la formule (I) subsiste pour les indices 



/r et ^■ -h 1 , A: et z -h :2 , . . . , A; et /i , 

 k-{-l et if A; -H 2 et i, ... ,n et i, 



je dis qu'elle subsiste aussi pour i et k, et, par suite, qu'elle est 

 généralement vraie. En effet, on a 



Ut ^Xk ^TT SXiV 



la somme s'étendantà toutes les dérivées de y, et de y^^, ce qui n'a 

 pas d'inconvénient puisque les dérivées de y, par rapport au z- 

 d'indice non supérieur à /, et de celles de ff,, par rapport aux r 

 d'indice non supérieur à k sont nulles. D'après l'hypothèse, on 

 pourra remplacer 



par 5 - — par — • 



SXk àX àXi dX 



D'ailleurs, d'après (111), le premier terme du second membre 



SXk ^or,i {Sp Sx Sp Sx 



