( 142 ) 

 Donc enfin 



(jT, — p,-,n — Fa) = (111") 



et 



Sxk ^JCi 

 pour toutes les valeurs de i et de k. 



64. Quatrième forme des conditions d'intégrabilité (*). Si l'on 

 substitue dans les (m — i) premières équations oj, la valeur de /)„,, 

 déduite de la m'^'"', puis la nouvelle valeur de p^_i dans les (m — 2) 

 premières et ainsi de suite, on arrivera à 7« relations de la forme : 



Pi=^ii^i, ..,x„,ai, ...,a„,,jh„+i,...,p^), .... (^J 



(*) Jacobi , Nova meth , § 15, donne le théorème direct comme nous l'indi- 

 quons dans le texte, la forme seule des formules étant différente; Graindorge 

 a résumé celte démonstration , n" 27, pp. 23-29, Imschenetsky, n» 42, pp 60-62. 

 Ni Tun ni Paulre ne s'occupent du théorème inverse. Jacobi, Nova meth., 

 § 12, donne en outre la remarquable démonstration suivante du théorème et 

 de sa réciproque; elle est déduite du théorème (V) donné dans le numéro sui- 

 vant, en faisant (m -h 1 ) = k. Posons : 



pi=z^i{Xi,....Xu,ai,...,ak-i,pk,pk-hU..;Pn) = Xi [xi,. .., Xn, a^,...,ak-u'fk,pk-+-\,...,pn). 

 pk=^'^k{xi,...,x„,ai... ,ak-\,ak.pk+l..'-;Pn) = 'îk (Xj,...,x„, a^,.. ,ak,pk+\. ••.,/?»)• 



On aura ^^ [pi — Xi) _ o (P« 



[pi 



op op 



D'où 



[pi — Xi, Pk — 'fk) = ipi — '^,, pk - ?k) 



c'est-à-dire simplement : 



(IV 



Pi - %. . p/. 



Jacodi fait très-bien remarquer que pi et pk peuvent représenter deux 7; 

 quelconques, parce que dans les formules (V), on peut remplacer [in-\- 1) par 

 un indice quelconque. Le théorème que nous démontrons ici en note est donc 

 plus général que les théorèmes (III), (IV), (V). Jacobi ne démontre pas la 

 réciproque de (IV), mais (IV"; entraîne (V) qui a pour conséquence (III) et par 

 suite (II) et (I). 



