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On démontre, absolument comme au numéro précédent, que les 

 équations (I) (II) entraînent les suivantes et réciproquement : 



S-S=<'^-^"^ '-) 



{Pi-h,P/.-h) = 0, (IV) 



{Ti-4^i,Tk~'Pk) = 0; (IV") 



i et k sont supposés tout au plus égaux à m. 



65. Cinquième forme des conditions d'inlégrabilité (*). Con- 

 sidérons les conditions d'intégrabilité sous la forme (III), pour 

 les indices 1, ^, ... m et (tn -t- 1) : 



(Pi — fi , Pm+l - fm+l) = OU *ï>i = 0, 



(P-2 — ?2 . Prn+l — ?m-i-i) = 0^1 *2 = , 



ipm-l — ?m-l, P»n4-1 — fm+\) =0 OU *m-l = 0, 

 (Pm — ?m > P»«+l - fm+i) =0 OU <î>,„ =0, 



et voyons, ce qu'elles deviennent quand on y introduit les fonc- 

 tions i>^,^i, ... , ^„,, à la place de y^, ^2, ..., 'f„,, par les substitutions 

 indiquées au commencement du n" précédent. Je dis qu'elles 

 se transforment dans les suivantes : 



{Pt — '^1» Pm+i — ?m-i-l) = OU M, = 0, 



(Pa — ^2> P'n-i-l — ?m+l) = OU ^2 = 0, 



(V) 



(pm-l ~ 'Pm-i, pm+l — Pm+i) = OU T„,_ , = 0, 

 (Pm — ^,n , Pm+l ~ fm+j) = OU M,,, =0. ' 



La chose est évidente pour la dernière puisque i^,,, = v„,. Pour 

 déduire Y,„_, = de <î>„,_i =0, remarquons que l'on a : 



D Jacobi, Nova methodus, §§ 9-1 1 , Imschenetsky, n" 71, pp. 95-94 ; Grain- 

 DORGE, n" 27, pp. 2d-29. 



