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Application du calcul di/férenliel aux imjj^in aires. 



47. Soit y une fonction quelconque imaginaire définie par 

 l'identité 



(i) y = M-^ l/=T.F(x). 



Pour appliquer à cette fonction les règles du calcul différentiel, 

 il suffit d'opérer successivement sur la partie réellejet^sur la par- 

 tie imaginaire en traitant le facteur symbolique 1/ — 1 comme un 

 facteur constant. De là résulte 



(î2) . . . // = l'\x) . X -t- l/— I . F'(a-) . X , 



ctl'équalion (^!) définit la différentielle, delà même manière que 

 l'équation (I) définit la fonction. 



On voit par ce simple aperçu que les règles établies pour la 

 différentiation et la dérivation des fonctions réelles s'étendent 

 d'elles-mêmes aux fonctions imaginaires, et qu'aucune difficulté 

 ne peut surgir dans leur application lorsqu'on a pris le soin de 

 ramener au type fondamental 



P ^ Q V/^^ 



l'expression imaginaire sur Ia(iuelle il s'agit d'opérer. 



Yeut-on procéder directement, sans passer par l'intermédiaire 

 d'aucune transformai ion? Il faut s'assurer d'abord que cette voie 

 plus rapide et plus simple peut être suivie légitimement. Tout se 

 réduit ainsi à quelques vérifications faciles et d'ailleurs peu nom- 

 breuses. _ 



Soit pour premier exemple la fonction e"^*^"*. Elle est par 

 l'identité 



(5) . . . . e' *^~* == cos JT -h V — 1 . sin x. 



