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on reconnaît immédiatement que la variation de 9 ne peut être 

 complète par rapport à la fonction qu'autant qu'elle est illimitée. 

 L'exemple que nous venons de choisir est très-propre à montrer 

 comment, en certains cas, la série des valeurs imaginaires est à 

 peine entamée par la variation continue de la fonction, tandis 

 qu'elle est déjà complètement épuisée par celle de la variable. 

 L'explication de ce fait est toute simple : il dépend delà multipli- 

 cité des valeurs qui, dans la fonction, correspondent à une seule 

 et même détermination de la variable imaginaire. L'inverse est 

 également possible; nous citerons, pour exemple, la fonction 



x'" = /'"' [cos 6 -+- [/— 1 . sm 0]'" = r'" [cos mB -+- V/ — J . sin mh]. 



Essentiellement continue pour toute valeur entière et positive 

 de l'exposant m, cette fonction est en même temps périodique, 

 et, par elle, la série des valeurs imaginaires est m fois épuisée, 

 lorsqu'elle ne l'est qu'une fois par la variable x. 



La variable x demeurant continue, imaginons que, pour toute 

 valeur de r comprise entre deux limites déterminées la fonction 

 varie périodiquement suivant un certain mode et qu'au delà de 

 ces limites ce mode change brusquement.il est clair que ces limites 

 ne pourront être franchies sans qu'il y ait, eii général, change- 

 ment brusque de détermination et par conséquent solution de 

 continuité. Si donc une fonction a d'abord un certain degré de 

 périodicité, puis({u'clle le perde brusquement ou que, ne lavant 

 pas, elle lacquière tout à coup, la discontinuité surgit en même 

 temps. Cette reniar([ue explique peut-être l'erreur où l'on est 

 tombé en faisant dé|>endre la continuité de la périodicité et con- 

 fondant ainsi deux caiactcrcs essentiellement distincts *. 



* Voir plus loin la noie placée à la suite du ii" 50. 



