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 soit ciisLiitc dans leur élévation à des puissances quelconques et 

 par conséquent aussi dans l'extraction de leurs racines. 

 11 vient d'ailleurs, en second lieu, 



(4) (cos X -h 1/ — 1 sin x) (cos y -+- l^ — 1 sin ^) = cos (x -♦- y) 



■+- V — 1 sin [x -i- y) , 



ce qui montre que, pour multiplier ou diviser des binômes de la 

 l'orme cos x-\-\^ — 1 sin x, cos y -+- \^ — 1 sin y , il suffit d'ajouter 

 ensemble ou de soustraire l'un de l'autre les arcs correspondants. 

 L'équation (4) implique en outre la formule générale 



(5) [cos X -\- V — 1 . sin x]'" = cos mx -f- V — 1 sin mx. 



Cette formule est due à 3Ioivrc. Elle fait voir que, pour élever à 

 une puissance quelconque une expression de la forme 



cosx-t- 1/ — 1 sinx, 



ou pour en extraire la racine , il suffit d'opérer sur l'arc en le mul- 

 tipliant par l'exposant qui indique l'opération à effectuer. 



Les résultats que nous vcjions d'établir en ce qui concerne les 

 puissances et les racines des exponentielles et des binômes imagi- 

 naires cos a; H- K — I, sin x, etc., peuvent s'obtenir directement 

 en substituant aux équations (1) les équations suivantes 



X" 



e' = 1 -f- X -t- 1- etc., 



1 . 12 



[nixf 



e"*'= i -+- mx -f- -4 etc., 



1.2 



x^ Y'* {))ixY 

 \ -\- X -\- h etc. = 1 + mx H + etc. 



On en déduit, par voie d'identité, 



1 . 2 J 1.2 



Le reste s'achève comme tout à Iheure, etil vient généralement 



(G) [e-'-^^'" = e'"' y~^ = [cos x -\- j/^^^sin x]"' =- cos mx 



-\-V — 1 sin mx , 

 ce qui justifie et confirme les déductions précédentes. 



