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Cola pose, soit d'abord 



r<l. 



La simple inspection des équations (4) et (5) met en évidence 

 les résultats suivants : 



L'angle e croissant à partir de zéro jusqu'à Stt, désignons par ô' 

 et e" les valeurs de cet angle comprises, l'une dans le deuxième 

 quadrant, l'autre dans le troisième, et déterminées toutes deux 

 par l'équation de condition 



cos ^ = — r. 



L'angle a supposé nul pour 6 == o croît jusqu'à la valeur 

 aretgr— ^== comprise dans le premier quadrant et correspondante 

 à 0= 9'. 11 décroît ensuite et s'annule pour = tt. De = tt à â=2r 

 l'angle a prend négativement les valeurs qu'il a prises positivement 

 de â = à =• 77. Il décroît ainsi jusqu'à la valeur arc tg . ~ 



comprise entre o et — |^ et correspondante a e = o". Il croît en- 

 suite jusqu'à s'annuler de nouveau pour S = 2t. 



Il suit de là, conformément aux équations (2) et(5), que, quelque 

 soit l'exposant m entier ou fractionnaire, positif ou négatif, la 

 fonction (1 -+- x)"* ne cesse pas d'être continue et de prendre même 

 valeur aux deux limites ô = o, = :27r. Elle est donc développable 

 en série convergente d'après la formule de Taylor ou de Maclau- 

 rin, pour toute valeur de x inférieure à l'unité. 



Soit maintenant 



r> 1. 



En procédant, comme tout à l'heure, on reconnaît d'abord que 

 l'angle a ne cesse pas de croître avec l'angle e. On voit ensuite qu'il 

 passe en même temps que par les valeurs o, tt, Stt. Il suit de là 

 que la continuité subsiste en général, mais que la condition des 

 limites cesse d'être remplie pour toute valeur fractionnaire de 

 l'exposant m. La conséquence est que la série devient divergente, 

 lorsque, l'exposant m étant fractionnaire, on attribue à x une va- 

 leur plus grande que l'unité. 



Soit, en dernier lieu, 



r = 1. 



