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2î). Terminons ce sujet par mie application particulière, et pro- 

 posons-nous, pour exemple , de recliereher dans quels cas la fonc- 

 tion (! -+- x)"' peut être développée en série convergente suivant 

 les formules de Taylor et Maclaurin *. 



En remplaçant la variable x par re^^* ~', l'on a 



(i H- x)'" = [1 -+- re^y~^]'" = [1 -+- r cos e -\- V^l.r sin 0]'". 



Faisons 

 (1). . . 1 -4- r cos 9 = p cos «, r sin d =^ o sin a; 

 il vient 

 (2) (1 -f-x)"'=^p'" [cos a -f-l/— 1 sin «]'" =p"'(cosma -4-l/— I sin ?>îa). 



et l'on a en même temps 



?• sin 6 



(5). . p = V^l -f- r^ H- 2r cos e, 



(4). 



1 -+- r cos ^ 

 De là résulte 



r sin 



1 -\- r cos 



et, par suite, 



?'(r -h cos 9) 



La moindre valeur du trinôme lH-r^-f-2r cos est évidemment 

 celle qui correspond à 9 = 7r, c'est-à-dire (1 — r)*. Elle n'est jamais 

 inférieure à zéro. 



* La dlstinclion établie entre ces deux formules est plus apparente que 



' 11 I , ' . . »«(»» — 1 ) « 

 réelle. Le développement 4 -+■ mœ -\ œ^ -+• etc., pouvant être con- 



1.2 



sidéré comme effe tué suivant la formule de Taylor ou suivant la formule de 

 Maclaurin, selon que l'on représente par /"(I-hj') ou par F(^) la fonction 

 donnée (i-t-a?)". 



