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Ajoutons que le nombre m se détermine par la condition des 

 limites et la puissance - de la variable par la condition de conti- 

 nuité à l'origine des valeurs du module. 



28. Les considérations développées ci-dessus s'appliquent de la 

 même manière au développement des fonctions en séries couver- 

 i^entes ordonnées suivant les puissances descendantes de la varia- 

 ble. Bornons-nous au cas le plus simple, celui où la fonction don- 

 née f{h -+- x) reste continue et satisfait en outre à la condition des 

 limites pour toute valeur du module supérieure à une certaine 

 quantité R. 



Si l'on pose 



1 



X = — 



II 



et 



f{h^x) = f[^h-^^j^F{u), 



de même qu'en remplaçant x par re^^''~\ l'on a, par bypotbèse, 

 f\h -^x)=-^ f{h -4- ré^~' ) = P -+- Q V^^^; 



de même, en remplaçant ti par î-'e^^^^-*^= 1 e^^'^^il vient néces- 

 sairement (le signe du radical étant seul changé) 



La conséquence est que, pour toute valeur du module r' infé- 

 Heure à^, la fonction F («) reste continue et prend même valeur 

 aux deux limites ô = o, = 27r. Il suit delà qu'on peut écrire im- 

 médiatement 



F{ff) == F(o) -+- ^ F'(o) -f- -^ F"(o) -f- etc. 

 et, par suite, 



f(h + X) = F(o) + ^-^ F -(o) + ^ F" {«) + etc. 



