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P.nr hypoUièso, la série (( h- />?/ -+- cu'^-i-, etc. , est eonvergenle a 

 partir de u = o. On a donc, conformément à ce qui précède, 



f/ = F(o), hr=F(o), c==F'(o), etc. 

 De là résulte 



1 X'" 



f(h + x) = T(t() = F(o) 4- .T"'F'(o) -I -^"(o) -4- etc. 



5"''' Cas. — En admettant les mêmes choses qu'au cas précé- 

 dent, supposons en outre qne pour établir la continuité à partir 



de 0, il faille multiplier f{x h- h) par a*". Si l'on pose, comme tout 

 à l'heure, 



et 



n 



x^f(li H- .r) = X(îO , 

 il viendra d'abord, 



X(,0 = X(o) -4- ^ X'(o) -4- -^^ X"(o) -f- etc. , 



et, par suite, 



j 



M — 1 n — î 



X '" _., . X 



f{h ^x) = x '". X(o) -4- -j- X\o) ^ -jj-^» 



etc. 



Le théorème du n'' 20 se trouvant ainsi généralisé, nous dirons 

 maintenant : 



Toute fonction est développable en série convergente suivant 

 nn des types réductibles aux formules de Taylor oude Maclatirin, 

 tant que le module de la varial)le reste moindre que la plus petite 

 des valeurs pour laquelle le produit de la fonction, par une cer- 

 taine puissance de la varialAe, cesse d'être continu ou de prendre 

 même valeur aux deux limites e^^a, = 2m:r. 



