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27. Les rcsnltats qui précèdent comportent une extension qu'il 

 convient d'indiquer. 



1"^ Cas. — La condition relative aux deux limites 0-=O,5 = !27t 

 étant supposée remplie, il peut arriver que la continuité cesse 

 lorsque le module s'annule. En ce cas , si l'on prend au lieu de la 

 fonction le produit de cette fonction par une certaine puissance 

 de la variable et que l'on pose, par exemple, 



la première condition ne cessera pas d'être remplie. On voit en 

 outre que la fonction F (a?) sera continue en même temps que 

 l\x-\- h) et pourra l'être encore pour r = o. Il viendra donc, en 

 admettant que l'exposant n soit convenablement déterminé , 



2 



x^t\h + x) = F(o) -^- I F'(o) + ^ F"(o) -h etc., 

 et Ton peut en déduire 



^-(«-1) ^-(«-2) 



l\x H- h) = x-'T{o) H F'(o) H ^—^"(o) -t- etc. 



2'"*' Cas. — Les fonctions P et Q ne prenant pas mêmes valeurs 

 respectives aux deux limites B = o, dr=^r, cette condition peut 

 avoir lieu aux deux limites B =o, e = %m:. En ce cas, tous les 

 calculs, tous les raisonnements qui précèdent demeurent applica- 

 bles, pourvu que l'on remplace 2t par 2»iT, et l'équation (8) du 

 n" 24, page 61 , par l'équation suivante : 



J. 1. 



(i). . . . /"(/j -H x) = a -+- hx"" H- ex'" -+- etc. 



Posons 



(2) X = II'" 



et 



(3) nu) ^ f(h -4- «'"), 



11 vient 



F(?/) = r/ ^- Jni ■+- cit^ -\- etc. 



