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Remarquons en outre que, pnr hypolïièse, les quantités P' et 

 Q' sont néeessairement finies. 



En vertu de l'équation (15) et de l'inégalité (15), la série (14) est 

 nécessairement eonvergente pour toute valeur de la variable x 

 inférieure à R. La conséquence évidente est qu'on peut écrire, 

 suivant la formule de Taylor, 



(16) . /\h + X) = /•(/») + ^ r(h) + ^ r(h) + etc. 



Si d'ailleurs on pose 



f'(x~^h) = ¥{x), 

 ce qui donne en général 



r{h) = r{o), 



il est visible qu'il y a identité entre la formule (10) et cette autre 

 formule dite de Madaurin 



2 u 



F(x) = F(o)-+- ^ F'(o)-+- ^ F"(o) -H etc. h- — ^ F"(o) -f- etc. 



Résumant ce qui précède, nous sommes en droit de conclure 

 que les deux conditions énoncées à la fin du n" 25, page GO, et 

 reconnues nécessaires pour la possibilité du développement, sont 

 en même temps suffisantes. De là résulte le théorème qu'il s'agis- 

 sait de démontrer, et qu'on peut compléter comme il suit : 



Toute fonction est développahle en série convergente y suivant 

 la formule de Taylor onde Madaurin, tcmt que le module de la 

 variable reste moindre que la pins petite des valeurs pour les- 

 quelles la fonction cesse d'être continue ou de prendre même va- 

 leur aux deux limites 4=^0, 9 = 2t. Lorsqiio^i dépasse ta plus 

 petite de ces valeurs , la série devient divergente *. 



* II est bien entendu que la fonction considérée est censée n'admettre pour 

 chaque valeur de la variable qu'une valeur uni([ue, correspondante à une 

 branche distincte et isolée. C'est cette valeur qui, par hypothèse, concourt ex- 

 chisivement à la foimalion de tons les coelïicients de la série. 



