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En restreignant au plus petit nombre possible les conditions 

 qu'une fonction doit remplir pour être développable en série con- 

 vergente suivant la formule de Ta} lor ou suivant celle de Maclau- 

 rin, nous voyons, d'après ce qui précède, qu'il en faut au moins 

 deux. 



La première consiste en ce que la continuité doit subsister à 

 partir de r =o, pour toute valeur du module inférieure à une 

 certaine limite R. 



La seconde exige que, dans cet intervallej chacune des fonctions 

 y(r,0), \p (r,0) prenne pour ô=^7z même valeur que poure = 0. 



Ces conditions nécessaires étant supposées remplies, nous 

 allons démontrer qu'elles sont suffisantes. 



Conditions à remplir pour qu'une fonction soit développable en 

 série convergente suivant un des types réductibles aux formules 

 de Taylor et de Maclaurin. 



26. Théorème. — Toute fonction est développable en série con- 

 vergente suivant la formule de l^aylor ou de Maclaurin, tant 

 que le module de la variable reste moindre que la plus petite des 

 valeurs pour lesquelles la fonction cesse d'être continue ou de 

 prendre mêmes valeurs aux deux limites 6 = 0, ô=27r *. 



Soit une fonction continue 

 (1) y = f{h-^xy 



Remplaçant x par re ^'~^, on peut écrire 



* Ce théorème imporlaiit a été donné , pour la première fois , par M. Cauchy, 

 sous une forme qui laissait prise à quelque incertitude. Nous avons cru devoir 

 en modifier l'énoncé pour lui restituer toute la rigueur et toute la généralité 

 qu'il comporte. (Voir le Journal de mathématiques pures et appliquées, tomeXI, 

 1846, et tome XII, 18i7.) M. Maximilicn Marie a rencontré cette même ques- 

 tion dans sâ Nouvelle t/icorie des fonctions de variables imaginaires. Il rectifie 

 ce (\ue les énoncés antérieurs avaient de vicieux et s'accorde avec M. ïchebi- 

 clielV et moi sur le point principal. (Voir le Journal déjà cité , deuxième série, 

 1" tome V (1860), n^^ 97 et 98; 2' tome VI (1861). Note finale). 



