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Cela posé, si l'on observe que, pour toute valeur entière du 

 nombre m, l'on a généralement et évidemment 



(0) . . Mo cosma; = o, M,, sinmx = o; 



il s'ensuit que la convergence des séries qui figurent dans le se- 

 cond membre de l'équation (5), implique comme conséquence 

 nécessaire le résultat suivant : 



(7) . MTe-''^^~f{h-^re^^ = Ml''p.r'' = p.r\ 



Prenons, de part et d'autre, dans chacun des membres de 

 l'équation (7), la dérivée de l'ordre n par rapport à r. En vertu 

 de la règle du n" 25 , page 59 , il faut , pour le premier membre , 

 substituer à la fonction /[h -+-re^l^~*), la dérivée de l'ordre m, 

 e'*^^-*/"(^' -t-re^*^~'). La dérivée du second membre est d'ailleurs 

 i , 2... /i ./>. Il vient donc 



(8) . . . MTp{h -^re'^^^)=i.^...n.p. 



L'équation (8), où le second membre est indépendant de r, mon- 

 tre que le premier n'en peut pas dépendre. Il est donc permis de 

 poser r = o et d'écrire, en conséquence, 



(9) t^== ' ^ 



1 . 2 . . . /i 



De là résulte, en prenant successivement pour n les valeurs 

 4,2,5, etc., 



(10) . I\h -4- X) = /\h) H- jf'W -+- ^^ r W -^ etc. 



On voit ainsi comment la formule de Taylor peut s'établir à 

 priori par la considération des imaginaires, les coeflicients qui se 

 succèdent dans la série convergente 



f{x ■+- h) = a -+- 6x -*- cx^ H- dx^ ■+- etc., 



ne pouvant avoir d'autres valeurs que celles qui leur sont assi- 

 gnées parla loi de formation qui les régit dans celte même fornudc. 

 Tome XV. 5 



