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 Cil ce (iirt'lk's l'cpi'cmiciit iiièiiics valeurs aux deux limites ô^= o, 

 ô^^'-Itz, h est visible en effet que l'on a toujours et néeessaiiejiicnt 



Voilà donc une condition nouvelle, tout à fait distincte de la 

 première et résultant comme elle de ce que la fonction don- 

 née f(li H- x) est développable en série convergente ordonnée 

 suivant les puissances entières et positives de la variable x. Celte 

 condition en implique une autre qu'il convient d'indiquer, non pas 

 seulement parce ([u'ellc est curieuse, mais surtout à raison du 

 jour qu'elle jette sur les déductions ultérieures. 



Imaginons qu'on prenne pour facteur l'expression imaginaire 



( 1 ) . . . e-"^ ^'~' = cos iiQ — V~^ sin nd, 



cl qu'on multiplie par ce facteur les deux membres de léquation 



(2) . . AA>f-r.^^~») = ^(r,6) + ï/':=l^(r,0); 



il vient 



(5) e~"^ ^-"^ f{h -+- re^y^') == f (r, O) cos nO -4- ^ (r, 0) sin nO 

 — - V^— 1 [v (/•_, e) sin ne — ^ {)', e) cos m]. 



On a d'ailleurs, comme au n''24, 



[ ^ (r, 0) --= a -f- 6>- cos 6 -t- c>''^ cos 20 -+- etc., 

 ^ ^ * * ( ^ (r, e) = 6r sin ô -+- cr^ sin 2o h- etc. 



De là résulte, en substituant ces valeurs dans Féquation (3) et en 

 réduisant 



1a cos nQ ■+- hr cos [n — \)(^) 

 H- r>''^cos {n — 2)0 H- etc., 

 vv V. ,,..-... /— , -^ />'•" -+- 7'-"+* oos -h etc., 



-V — 1 I H-cr^sin(M— 2)ô4-etc., 

 ( 4- — (//•"■^' sin 0— etc. 



