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qu'ils s'éloignent davantage. Si nous icinplaçons la \ ariable x par 

 /^-Xj, f/ étant une fraction, et que nous prenions positivement tous 

 les ternies compris dans la suite infinie 



p^'" -+- qjû"'^^ -4- etc. , 



il est clair que nous pouvons écrire 



y." 



p{y.^iY 4- (/(pt*-,)""^' -4- etc. <p^;'[p." -f- ^a"-^* -4- etc.]< — ^^ — w^«. 



I — a 



Or, si rapprochée de 1 que soit la fraction ^, on |)cut toujours 

 prendre le nombre n assez grand pour rendre la quantité 

 ~ — px't aussi petite qu on veut. 11 sensuit que si l'une ou l'autre 



1 fx, 



des séries (î)) et (10) cessait d'être convergente pour x = Xi (les 

 termes n'y changeant pas de signe comme dans la série (8)), il 

 sufiirait, pour rétablir la convergence, d'attribuer à r une valeur 

 quelconque ax, moindre que j-, *. 



Concluons que dans toute fonction développable en série con- 

 vergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la va- 

 riable la continuité subsiste nécessairement à partir de r = o pour 

 toute valeur inférieure à une certaine lijuite R. 



^a. Indépendanniient de la conlinuité ((iii subsiste pour cha- 

 cune des deux fonctions f(r,'j}, -4^(1', b), il} a lieu d'observer que 

 ces mêmes fonctions remplissent en outre certaines conditions 

 particulières plus ou moins remarquables. La principale consiste 



" Voici un exemple de ce cas. Oi) a, comme nous Ta vous vu au ii« 18, [)age 48, 



f<x) — \o'^{\-\-x) = x ^-t-— - t^tt^M 



et celte série ne cesse i)as d'èlre convergente pour x= \ Si l'on pose = t 

 dans la série (9), correspondante au eas dont il s'agit, il vient 



f{r, 0) = _ r - ^ - -^ — etc. = log(l— r), 



et cette série, qui devient divergente pour /• = !, reste convergente pour toute 

 valeur de r inférieure à l'unité. 



