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 De là résulte 



f{h -4- re^^'~') =^ a + bre'^^' -^ crh'^^~' -4- ete., 



c'est-à-dire en remplaçant e"^ *^-'par cos nO -+- V^— I sin y<o, 



( 6f -f- br cos 9 -4- CT^ cos "20 -4- etc. 



11 vient donc 

 (9). . . \[r, 0) = a -h br cos m- cr^ cos ":>9 -*- etc. 

 (10). . . ^(r, 0) = br sin 9 -4- cY^ sin 29 -+- etc. 



Prenons dans la série (8) un terme assez éloigné du premier 

 pour qu'il devienne aussi petit qu'on vcut,elquen outie les termes 

 suivants soient tous de plus en plus petits à mesure qu'ils s'éloi- 

 gnent davantage. Deux cas sont possibles selon que ces termes 

 ont un seul et même signe, ou qu'au contraire, leurs signes ne 

 cessent pas d alterner suivant une loi quelconque. 



Dans le premier cas, il est visible que la convergence de la 

 série (8) implique celle des séries (9) et (10) et par conséquent 

 la continuité des fonctions ^(r, s), -d^lr, S) pour toute l'étendue de 

 l'intervalle ])récédemment indiqué. 



Dans le second cas, la même conséquence subsiste, à cela près 

 que la continuité peut s'étendre, d'un (ôté, jusquà une certaine 

 limite supérieure, tandis que de l'autre côté, cette même limite 

 devrait être exclue. Soit en effet x=ji'i la plus grande des valeurs 

 pour lesquelles la série (8) ne cesse pas d'être convergente. Repré- 

 sentons par px'l le terme désigné ci-dessus comme satisfaisant à 

 la double condition d'être aussi petit qu'on veut et de n'avoir 

 après lui que des termes supposés de plus en plus petits à mesure 



il suflil cKy i'em[)lacei' h par x et x par h pour lui donner celte auli-e forme, 



fil, -+- X) = /•{/>) -+- j /'[h) -t- ~ l"{h) -4- CIC. 



