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Appliquons la formule (A) au cas particulier des difTércnces du 

 1" ordre. A cet effet nous ferons d'abord n^= \. Remplaçant 

 ensuite p par n et ^z par F (x -^ h, y -i- k) — F (x, ?/), il viendra 



(^) 



. F(.. -4- h, y -^ k)^V(^,y) -I- h (J) H- A: (^) 



* rrr-*** — rî>=f)— * — îxj, — 



On peut d'ailleurs, ainsi qu'il est aisé de le voir, remplacer 

 IVquation (3) par Tidentilé * 



(fi) . . F{^ ^h,y + A) = F{.., y) + h ( J) + A- ('^|) + etc. 



les substitutions à faire dans les dérivées placées sous le signe M„ 

 étant respectivement oc ■+- lui, y •+- ku. On observera que l'exis- 

 tence des formules (4), (5), (0) est subordonnée à la condition que 

 les dérivées partielles qui y figurent en debors du signe M soient 

 toutes finies et continues à partir des valeurs x, y jusqu'aux 

 limites x -+-/*,?/ h- k. Pour que ces mêmes formules puissent se 

 transformer en séries, d'après la loi qui régit la formation des pre- 

 miers termes, il faut en outre que leur dernier terme converge 

 vers zéro à mesure que l'indice de ce terme est pris de plus en 

 plus grand. 



Il est aisé de voir ce que deviennent les formules précédentes, 

 soit lorsque les valeurs x, y sont supposées nulles et qu'après les 

 avoir annulées dans tous les termes qui les contiennent, on rem- 



* Il sudit pour cela d'opérer sur ritlentité (1) du n« 7, page 22, comme nous 

 rnvons fnil sur les forninles (8) et (9) du n» 10, pnge ôi. 



