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 Il on résnilo, ainsi qu'on le voil aisénionl sur la figure, 



I cos r ▼ \ar/ 



(3). . , N = ^ = — VT^TWT- = \/r- + i'-^y, 



sni y tg ->/ 



dr ' ' ~~ dh 



„ da di 



ST = r tg r==r^~— , SN = r cot y 



et la valeur du rapport — ^e déduit de l'équation difFéren- 

 tielle 



Si, dans cette équation, on désigne par r', 9' les coordonnées 

 du point m, et qu'on remplace les différentielles dr, dB par les 

 différences quelles expriment, il vient 



(5). . . (r-r')F;.,(r', e')-f-(9-o')Fi,(r', o') = o, 



c'est-à-dire l'équation de la courbe connue sous le nom de spirale 

 d'Aixhimède. 



Lorsque l'on substitue l'équation (o) à l'équation (4), en conser- 

 vant aux dérivées partielles F^- (>''>^')? F'^- i^''?^') ainsi qu'aux gran- 

 deurs r',0' les valeurs qu'elles affectent au point m, on n'altère en 

 rien les composantes de la vitesse mm\ Il s'ensuit que léqua- 

 tion (5) exprime, en général, celle des spirales d'Archimède qui 

 touche en m la ligne S *, et pour laquelle les accroissements simul- 



Quel que soil le système de coordonnées que Ton considère, l'équation 

 qu'on obtient en différcntiant celle d'une ligne quelconque est toujours l'équa- 

 tion linéaire correspondante à ce système. Elle exprime ainsi, parmi les lignes 

 que réqualion linéaire représente,, celle qui touche la ligne donnée au point 

 pris pour origine commune des accroissements. 



