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JNOTE IV. 



Sur la couver ff en ce et la divergence des séries. 



On entend i>ar série une suite infinie de termes qui dérivent 

 les uns des autres sui\ ant une loi déterminée. 

 Soit une série ()ueleonquc 



(I) "n, ''i, thy ?^,; etc. 



r.onsidérons la somme de Ji premiers termes, et j)osant 



^,z = ^'o -t- ffl -H ?^2 -+- ftC. -t- U„^i , 



imaginons qu'on attribue suecessivement à n tontes les valeurs 

 comprises dans la suite infinie 



!, !2, 3, 4, y), etc. 



Deux cas sont possibles selon que la somme S„ finit ou non par 

 eon\ergcr vers une limite d('lerminée. Dans le premier cas on dit 

 de la série (I) qu'elle est convergenle, et (ju'elle a pour somme la 

 limite dont la somme S^^ se rapproche indéfiniment pour des va- 

 leurs de n de plus en plus grandes. Dans le second cas la série est 

 dite divergente. 



Pour qu'une série soit convergente, il faut d'abord et avant tout, 

 que les termes qui s'y succèdent en nombre illimité finissent par 

 converger vers zéro à mesure qu'ils s'éloignent davantage. En effet, 

 s'il en est autrement, suivant qu'ils ont tous même signe ou qu'ils 

 sont alIciMialivement de signes contraires, leur somme croît sans 

 limite, ou elle oscille sans fin entre des valeurs brusquement diffé- 

 rentes. 



La condition qui vient d'être énoncée est toujoui's nécessaire : 

 elle ne ^-ufiit. en i>('néral. que dans le cas où les tenues de la Sf'rie 



