( i-^0 ) 

 et le nombre ii i)cnt être pris aussi grand que l'on veut. De là ré- 

 sulte 



(5). . •Mlr-^\a-^liu)>~^[/\a-^h)-~f(ai]. 



Attribuons à h une valeur queleonque, aussi petite quon veut, 

 mais déterminée. Si Ton prend pour n des valeurs de plus en plus 

 grandes, le second membre de l'inégalité (5) croît indéfiniment et 

 peut ainsi dépasser tout degré de grandeur assignable. Cela revient 

 à dire que l'intervalle h ne peut jamais être assez petit pour que 

 la moyenne M' /"'* + * (« -+- hu) ne devienne pas infinie avec le nom- 

 bre n. La conséquence est que les dérivées comprises dans la suite 

 infinie, 



/'(« -h hu). /'■'(« H- hu), l'"'{a -+- Jiu), etc. 



ne peuvent pas être considéi'ées comme satisfaisant toules à la 

 condition de ne subir aucun changement brusque lorsqu'on passe 

 de la valeur ;^ = o à une valeur quelconque aussi rapprochée qu'on 

 voudra de la première. 



Pour peu qu'on réfléchisse sur les rapports existant entre l'ac- 

 croissement d'une grandeur et les vitesses exprimées par ses dif- 

 férentielles, il semble ([u'unc même valeur de la variable ne jjuissc 

 jamais annuler en même temps toutes les dérivées successives 

 d'une même fonction. Telle serait, pensons-nous, la conclusion 

 générale à laquelle on aboutirait, si Ton distinguait toujours les 

 valeurs effectives des valeurs limiles * et que l'on rangCtàt parmi 

 les dernières toutes celles qui correspondent à l'apparition du 

 symbole - . Quoi qu'il en soit, dès qu'on procède comme on le fait 

 habituellement, il y a lieu d'admettre qu'il est des fonctions dont 

 les dérivées successives s'annulent toutesensemblepour une même 

 valeur de la variable; je cilerai, comme exemple, la fonction 



!J = ^ 



* Voir la iiolc qui i»icceili' 

 Tome XV. 



