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limite II la roiiclioii f"{a v- la''*" " ') dcvieiiuc discoiiliiuie ou bien 

 qu'elle cesse d'èlre périodique. Cesse-telle d'être périodique sans 

 devenir discontinue? Les équations de condition 



ru'l (/', i>7r) — v;' (r, o) -- 0, ■>;: (r, -27r) — ^; (r, u) = o, 



subsistant pour toute valeur du module inférieure à 11 et n'ayant 

 plus lieu au delà, il en résulte (jue les expressions 



.;:(>■, :2t)-v;:(>-,o), ^;;(r,2T)-^;:(r,o) 



sont dabord indépendantes de r et que, parlant de zéro, pour 

 r ^^R, elles dcAiennent et restent fonctions eontinues de r pour 

 une suite non inlerrom})ue de valeurs toutes supérieures à R. 



Cette déduction s"aj)plique indistinctement à toutes les dérivées 

 de la fonclioM f\a -\- x). Si donc il n'était aucune de ces dérivées 

 qui cessai d èlre continue, à partir de r^=^ R, il faudrait que cha- 

 cun des termes des deu\ suites infinies 



[',;(R -^ r, i>:r) - .;.(R -f- >•, o)], [.';(R -^ r, ^1^) -^ y;(R ^ /•,o)], 

 [v;"(H-+-r, ^j7r)~.:(R-t-r,o)],etc., 



[^.(R -4- /•, ^irr) - ^[W -H r, 0)], [fM H- r, ^lix) - ^';(R -v- /•, o)], 

 [^:."(R-f-r,27r)-.^',"(R-i- /•,«)], etc., 



pût satisfaire en même temps à la double condition de s'annuler 

 avec le module /• et de rester fonction continue de ce même mo- 

 dule dans un certain intervalle compté à partir de r=o. 



On démontre aisément que la première de ces conditions est in- 

 compatible avec la seconde *. 11 en résulte que si la fonction don- 

 née f(a -\- x) cesse dètre périodique en restant continue, il est 

 impossible ([ue ses dérivées successives demeurent tontes finies et 

 continues dans un intervalle quelconque a}ant pour origine la 



* Voir, page sui\aiiU', la iiolc sur les Jonctions dont toutes les déiivées suc- 

 cessives s'auiiuleul on mOnie leun)s poui' une inéme vaieui' de la variable. 



