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Supposons (jiic la ronclion donnée [{a -^ jî), soil conlinuc à jmr- 

 lir de /• = (), et quêtant d'abord périodique, elle cesse de l'être 

 avant de subir aucune solution de continuité. Pour établir la réci- 

 l)roquede la pioposition précédente, tout se réduit à démontrer 

 que les dérivées successives comprises dans la suite infinie 



f{a H- X), f"{a -f- x), f"'(a -+- x), etc., 



ne peuvent toutes rester continues alors que la fonction /'(«-♦- j) 

 cesse d'être j)ériodique. 

 Soit 



/•(« -+. x) ^ f(o -f- re'^y^) ==. 'v(r, 0) -h [/ZZJi^r, h). 

 Obser\ons dabord que pour r=^Oj on a nécessairement 

 .(r, 0) -^ .(r, i>7r) = /•,«), H^'^ «) = M^ '^^) - 0. 

 Lu condilion de jjérlodicitê suhsiate donc d l'origuiL'. 



Soit R la valeur du module au delà de laquelle la périodicité 

 n'a plus lieu, bien que la continuité persiste. Cette valeur peut être 

 aussi petite qu'on veut, elle peut même se réduire à zéro, sans 

 modifier en rien les déductions suivantes. 



Les fondions -^{r, o), ■dj[r,H) ne cessant })as d'être continues et 

 périodi<[ues pour toute valeur du module (]ui ne dépasse point 

 la limite 11, il sen suit, d'abord, (pi'on a généralement 



f"{a -4- X) =- /■; [u ^ vii^ *^'^) = v;: (7'j ^^) -+- V'-\. 'P';, {r, o). 



11 s'en suit, en oulic, (juc la dérivée (pielcoïKpie /"{a -h re^^ ~') 

 reste continue et j)ériodi(|ue pour toute valeur du module infé- 

 rieure à R. Est-il possible que la continuité et la périodicité de la 

 dérivée /'"{a 4 r«®^~') s'étendent toutes deux au delà de cette 

 même limite? l'Jiuh'mmanf non \ Il faut donc qu'à partir de la 



' Si l;i cléiivcc f"^((i +- re^^' -') puiivail trancliii' la liiiiile H cii ivslaiil cuii- 

 liiiUL' cl [K'ii(Kli<i(ic, la loiiclinii cluiiiicr /'(((-hj) = f { a -\- rc^^\^' - ^) rcniplicait 

 iiocosaiimiciil et lie uicuic cuiidiliuii, t«j (|ui l'sl (.oiidaire à l.'l)V|»ullièb;o 

 admise. 



