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» est divergente ou convergente suivant que le module de z est 

 » plus grand ou plus petit que celui de la valeur imaginaii-e x qui 

 » rendrait infinie ou discontinue une des fonctions, 



f{a -H x), f'(a ^- x), f"(a -\- x), ele. 



Pour que ces deux énoncés concordent, il faul que la condition 

 de périodicité, lorsqu'elle est remplie par une fonction continue, 

 ijnplique en ce qui concerne toutes les dérivées successi^es, la 

 condition de continuité et réci])roquement. C'est en effet ce qu'on 

 peut établir, connue il suit, d'une manière générale. 



Partons de notre théorème et considérons une suite de séries, 

 toutes ordonnées suivant les puissances ascendantes de la \ariable, 

 et déduites les unes des autres })ar dérivations successives. On sait 

 que si l'une quelconque de ces séries est convergente pour toute 

 valeur de la variable inférieure à une certaine limite, chacune des 

 autres remplit en même temps cette même condition. De là, et eu 

 égard à notre théorème, résulte en i)remier lieu la déduction sui- 

 vante : 



EliUit (h/i/têc la s ut le in/ùtie des fo/if lions 



/'(a -f- x), f'(a + x), /""(a -4- j;), etc. 



Si y pour loule valeur du module inférieure à une certaine 

 limile, lune (juelco/ufHe de ces fonctions reste continue et reprend 

 mêmes vcdeurs aux deux limites o = 0, 6 = 277, chacune des au- 

 tres remplit en même temps ces mêmes conditions. 



On voit ainsi, (luunc fonction ne peut être continue et pério- 

 dique * pour toute valeur du module inférieure à une certaine 

 limite sans que ses dérivées successives ne soient en même temps 

 continues **. 



Lorsque nous disons ici que lu fonction est périodl(iue, nous entendons 

 exprimer qu'elle reprend mêmes valeuis aux deux limites 5 = 0, 0::=i!ir. 



"* Il est clair (jue c<>s deri\ées ne sont pas seulenienl continues, mais qu'elles 

 sonl aussi' peri(»di(pies. 



