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(\vo la conlimiilô de In jX'riodicitf' dnns Jos; foiulions d'une variable 

 imaginaire, on a^ait confondu deux earaetères essenlicllement 

 distincts. Pour se convaincre de rexactitude de celte assertion, il 

 sufiit de considérer la l'onction 



En y jxjsant 



X =r= r (cos f) -4- 1/ — 1 . sin h), 



on trouve pour les fonctions désignées au n" :24, page fil, par 



l Ti -^ 5 



V (/•, o) = r eos - fj, i (/', e) = r' sin - ^. 



Il suil delà que la fonction x- est et reste continue pour foute 

 valeur du module v. On voit d'ailleurs qu'elle ne reprend pas 

 pour e = i>~ la valeur qu'elle affecte pour 0=0. FJIe n'a donc pas 

 la périodicité voulue pour être dévelo])pal)le en séiie convergente 

 suivant la formule de 3Iaclaurin, et ce n'est pas le défaut de con- 

 tinuité, mais bien celui de périodicité qui accuser ici l'impossibilité 

 du développement. 



Nous avons démontré au u° !2fi, page fiC), le tbéorémc suivant : 



Toute fonction est dêveloppable en série convergente siiirant 

 1(1 formule de Tat/lor ou de Maclaurin tant que le module de la 

 variable reste moindre que la plus petite des valeurs pour les- 

 quelles la fonction cesse d'être continue ou de prendre mihnes 

 valeurs aux deux limites 0=0, = 2t. Lorsqu'on dépasse la plus 

 petite de ces valeurs la série deviott divergente. 



31. Tehebicbeif a proposé en i844 (Journal de Crelle, tome 

 XXYIII), un autre énoncé dont je n'avais pas connaissance et qui 

 se trouve reproduit dans le mémoire déjà cite de M. Marie. Voici 

 cet énoncé : 



« La série de Taylor 



/•(,,) -,.f /•'(,,) ,. _i_ /•'(,,) .^„p. 



