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La (li/fêrence de Vordre n d'toie foncllon (jHe/cotu/ue y=^r(\) 

 est égale au prodmi de la puissance n de l'accrnissement de la 



n 



variable par la moyenne multiple M f"(x). 



Lorsque la dérivée de l'ordre )i, /"('), est constante, l'on a 

 évidemment 



M f" (.r) = M /■« {.t) = etc. = Ûf" (aj) = /'" (,r) =- cons'* =- C. 

 et, par suite, 



En général la dérivée f"{x) est une quantité variable avec x. 

 Néanmoins, s'il y a continuité, il est aisé de voir (jne l'équation 

 (()) est réductible à la forme 



(7) ^"y = {^ar[f"{a;)^^], 



t étant une quantité qui converge vers zéro en même temps 

 que ^x *. 



Du développement de la différence A"y, efferivé h priori et par 

 voie d'idenlité. 



1). Reprenons la formule établie ci-dessus 



(I) ^"i/ = {i.TYÛ:f"{x^), 



et, pour éviter toute confusion, représentons par « la valeur as- 

 signée à X comme origine de l'intervalle àx. On a idenliqucment 



(2) . . . Û:f%v)^f-{a)-^M:[r(x)~f"{a)] 



= f" («) -+- m; (.r — a) m; /" ^-* (.r) , 



les limites entre lesquelles x varie étant a et z = a -«- ^x. 

 * Ou vrna plus loin comment la quanlité c se détermine. 



