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longer toujours, el suivant une loi constante, le développement 



limité sur lequel elles reposent. Lorsque les termes complémen- 

 taires 



-m! (\ -uYp'-^-'(.T-^hn), --Ç Ml (l - ny/-"-^ {.ru} 



convergent vers zéro à«mesure que n augmente, les séries sont con- 

 vergentes et elles permettent de calculer avec tel degré d'approxi- 

 mation que l'on veut la valeur des fonctions qu'elles servent à dé- 

 velopper. Dans le cas contraire, elles sont divergentes. Pour que 

 les séries puissent subsister, il faut que toutes les dérivées pren- 

 nent des valeurs finies à l'origine de raccroissementquel'on consi- 

 dère, et qu'en outre la continuité sétende au delà de cette origine. 

 Ces conditions étant supposées remplies, les séries sont, en gé- 

 néral, convergentes pour tout ou partie de l'intervalle considéré. 



47. Prenons, pour exemples, les fonctions élémentaires et 

 cherchons à les développer suivant la formule de Taylor ou sui- 

 vant celle de Maclaurin. 



Soit, en premier lieu, 



Lorsque l'exposant /// est positif et enlier, la dérivée de l'ordre 

 m étant constante, le développement est limité et Ton a identi- 

 quement 



m 



(1) .... (.i--+- /0"' = .i'"'-t- — Ax-"'-*-+-elc. 



iiiim — l)..(>/i — ;i-f-l) , 



-+- — ^ — h"x"'-" -f- etc. -+- h'". 



1.2. ...n 



C'est la formule du binôme de Newton pour le cas de l'exposant 

 entier et positif. 



Supposons l'exposant m quelconque. On a 



/'«+* {x) =. m {m — i) . . [m — n) x"-"-*. 



En se rcporlant au u" 10, on voit aisément que le dernier terme 



