( !<■> ) 



i. >ous a\ons supposé que la (léi'i\ée f\.r) étaiL coiislaiiiinciil 

 croissante dans l'intervalle A.r. La démonstration qui précède s'ap- 

 plique de la même manière au cas où la dérivée serait constam- 

 ment décroissante. Le résultat formulé ci-dessus est d'ailleurs tout 

 à fait général, ainsi qu'on va le voir. 



Repoi'tons-nous aux inégalités (4) et (5) du n*' 5, page 15. Elles 

 se résument en une équation de la forme 



yjj =. ^x [f'{j) -f- ^ (/''{x + s.v) ~ r(x))], 



ju. étant une (piantité comprise entre et 1. 



Supposons que la dérivée f {x) soit continue à partir de la va- 

 leur X prise pour origine de rinter\alle ^x. Si cet intervalle e^t 

 suflîsamment petit et qu'il ne fasse plus que décroître, il est \ isible 

 (juc la différence f'{x ■+■ a.t) — /'(x) converge nécessairement 

 vers zéro. On })eutdonc écrire en général 



(0 A/y = A.r. [/-'(a:) -+-;/], 



v; étant une quantité qui converge vers zéro en même temps 

 que A.1-. 



Divisons l'intervalle \:v en u parties égales et désignons jiar A 

 l'une de ces parties. A chacune des subdivisions représentées par h 

 correspond un accroissement de la fonction, et cet acci'oissement 

 est déterminé par les valeurs particulières ({ue les quantités f'{x) 

 et y alfeclent à son origine. On a ainsi 



* ' ' '( 



Oj', la sonnnc dc^ dillercnccs a^,, a//.^, etc., Ay„ est néces- 

 sairement égale à raccroisscmcnt total itj : il \icnl donc, en 



