( l--' ) 



Kempiaçoiib It par sa valeur — ^ cl di\isoiis par \jc. 11 vient 



i\) f'{x) -+- f'(x 4- h) -+- etc. H- /'U' -+- (n — 1) A) 



(8) ~ = 



à a: n 



f'{x -+- AX) — f''(x) 



-f- y- • 



)i 



Cela posé, imaginons que, sans rien changer à rintcrvalle ax , 

 ni par conséquent à l'accroissement at/, l'on augmente indéfini- 

 ment le nombre n, qui marque en combien de parties égales rin- 

 tcrvalle ào; est subdivisé. L'équation (8) subsistera toujours, et, 

 puisque le premier membre de cette équation demeure invariable, 

 les deux termes qui figurent dans le second devront former en- 

 semble une somme constante. Or , à mesure que n est pris de plus 

 en plus grand, l'un de ces termes devient aussi petit qu'on veut : 

 il faut donc que, dans les mêmes circonstances, l'autre se rap- 

 proche indéfiniment de la limite fixe exprimée par leur somme. 

 Mais, d'un autre coté, ce terme est la moyenne arithmétique des 

 valeurs que la dérivée f'(x) aifecte à l'origine de chacune des 

 subdivisions introduites dans l'intervalle àx. Si donc on repré- 

 sente par le sMnl)ole M,^ /'W ^^ limite vers laquelle cette 

 moyenne converge à mesure que le nombre n croît indéfiniment, 

 il s'ensuit qu'il y a identité entre les deux limites M, f'{x) et 

 — . On peut écrire , en conséquence , 



(9) s^ = S;v.^C'.r(x). 



Désignons sous le nom de luU'ur inoyi'mie de la dérivée la 

 lantité représentée par le symbole I 

 a pour traduction le théorème suivant : 



quantité représentée par le symbole M^ "" /'(•^)- L'équation (9) 



L'aaroiasamcnl de la fonrhonesl égal au prodtiif de laccrois- 

 semenl de la variable yav la valeur moyenne de la fonction 

 dérivée. 



