( 7 ) 



pose natiircllomcnt ces questions. On peut y répondre, avec nous, 

 sans sortir de la voie purement géométrique. La propriété du 

 plan tangent sert de point de départ : les autres s'en déduisent 

 d'une façon tout élémentaire. C'est ainsi que nous avons pu repro- 

 duire sans calcul les principaux théorèmes concernant la cour- 

 bure des surfaces et y ajouter quelques résultats nouveaux. 



Le chapitre XI donne les applications générales du chapitre X. 



Le chapitre XII a pour objet la théorie géométrique des lignes 

 géodésiques. yVprès avoir développé cette théorie, nous l'appli- 

 quons à plusieurs cas, les uns généraux, les autres particuliers. 

 Nous citerons, pour exemple, la question des lignes et des surfaces 

 minima. Le procédé suivi met en évidence la raison fondamen- 

 tale qui détermine la nature de ces lignes et de ces surfaces. C'est 

 là, comme ailleurs, un des avantages principaux de notre mé- 

 thode. Elle élucide les questions qu'elle résout. 



Le chapitre XIII contient la théorie géométrique des surfaces 

 qui peuvent s'appliquer les unes sur les autres sans déchirure ni 

 duplicature. Il permet de transporter dans les éléments des ques- 

 tions réservées jusqu'ici au domaine des mathémati([ues supé- 

 rieures. 



Le chapitre XIV est le dernier. Il traite des rectifica lions et des 

 quadratures dans l'espace ainsi que des cubatures. La marche sui- 

 vie nous a conduit d'elle-même à quelques énoncés nouveaux , tels 

 que celui-ci par exemple : 



Toute aire engendrée par une ligne, tout solide engendré par 

 nue surface a pour différentielle le produit de la grandeur géné- 

 ratrice par sa vitesse moyenne de circulation. 



Ce théorème comprend celui de Guldin comme cas particulier. 

 C'est à lui que nous devons d'avoir pu résoudre par voie géomé- 

 trique la question des lignes et des surfaces minima mentionnée 

 ci-dessus. 



Les formules du chapitre XIV comportent une extension gé- 

 nérale au cas où les grandeurs à déterminer sont données comme 

 limites de certaines sommes. C'est par là que nous terminons, de 



