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grandeur y augincnlc siins limite ii mesure que la MU'iable x se 

 rappioehe de la >alcur j-^; il faut doue que la dt'rivée ['(x) eroisse 

 indéfiniment dans celle menu; eireonslanee, et par conséquent 

 aussi toutes les dérivées successives. 



Veut-on procéder plus rigoureusement? On peut raisonner 

 comme il suit. 



Soit a?, une valeur aussi rapprochée qu'on voudra de x-^ et telle 

 que de Xi à x- la l'onction ij soit toujours croissante en grandeur 

 absolue; soit en outre x^ une valeur intermédiaire. En admettant 

 que, pour x = jr^, la dérivée /' (x)prit accidentellement la forme - , 

 celte forme ne pourrait persister. Il est donc permis de poser im- 

 médiatement f\x^i) =B, la valeur B étant numériquement assig- 

 nable. Or, si grand que soit B, je dis que la dérivée f'{x) doit 

 augmenter encore de j-^ '<^ -^s. Pour le démontrer, prenons, à partir 

 de Xi, rintervalle sx., plus petit que % — x^- Nous aurons, en dé- 

 signant par ài/2 l'accroissement correspondant de la fonction 



àyi= ^x^^[lr"^''^{x). 



Suppose-t-on maintenant que la dérivée /' (x) n'augmente j)as 



de Xi à X3? La Aaleur moyenne M,^' * /' (a')élanl inférieure à B, 



il \ient 



Aî/2 < B . àx.^ ^ = 



et, à forliori , 



A^2 < B.(X3— X.,). 



Mais, quel que soit B , si grand qu'on le suppose, cette dernière 

 inégalité est toujours impossible, puisque, par hypothèse, la diffé- 

 rence Ay^ ci'oît indéfiniment à mesure ([ue ax^ converge vers la 

 limite X:,— x.^. On ne peut donc admettre que la dérivée f'{x), lors 

 même qu'elle décroîtrait à partir de x^, ne prenne pas ensuite des 

 valeurs toujoui^ de plus en plus grandes, et cela sans limite as- 

 signable. 11 faut donc nécessairement que, pour la valeur x = x^^ 

 elle afTecte la forme symbolique-- 



De là résultent les énoncés suivants : 



Lorsque pour une valeur puriieuUère attribuée à la variable 



