( ^-' ) 



tiérivéc /'(x) demeurent continues. La relation très-simple et 

 purement algébrique 



i^ = mî{z — x)f"{x) 



complète d'une façon satisfaisante le sens de l'équation (9). 



7. Reprenons l'équation (7) du n° 6. Substituons à ^a!, z —x; 

 à û?/, f{z) — /"(jr); et à M^/'(x), le développement fourni par 

 l'équation (4); le résultat conduit à l'énoncé suivant : 



Théorème. — La fonction quelconque y ^={{\) et ses dérivées 

 siiccessives f'(x), f"(x), .... f"(x), étant continues entre les deux 

 limites x et z, l'on a identiquement 



(1) . f(z) = f(x) ^{z-x) f'(x) ^ ^^^ r(x) -^ etc. 



i . 2 . . « ' ' ' 1 . 2 . . /« 



Lorsque la dérivée de l'ordre n -^ \ est constante, les dérivées 

 suivantes sont toutes nulles. On peut alors écrire le dernier terme 

 de l'équation (1), soit en lui conservant sa forme actuelle 



^^^ • • ■ • rï."»^'^^"'''"'"'^'^''^' 



soit en lui attribuant celle qui résulte de la loi de formation des 

 termes antérieurs 



(5) .... . -J^-:=^^-''-^^f"+^(x). 



Égalons les expressions (2) cl (5) dont la forme seule peut-être 

 différente. Observons que, par hypolbèse, la dérivée /'" + ' (or) est 



