{ is) 



Supposons que la dérivée /' (x) soit indéfiniment croissante vers 

 la fin de l'intervalle sx et qu'en conséquence la valeur extrême 

 /' {x -+- Ji x) se présente sous la forme -. Par hypothèse, la func- 

 lioii y demeure continue. 



Divisons l'intervalle ^x en n parties égales et désignons par h 

 l'une de ces parties. On peut écrire, conformément aux déductions 

 précédentes , 



Aï/ = (ax — h) 3lf ^"~'^'' f'{x) -^ f(x H- nh) - f\x -+- (n ^-^ \)h), 



et divisant par ax ou son égal nh 



(6) tl = U _ '!] Mf'^ ^' /•'(.) .- f'^'-^ ^^>-/^^ -^ '■'-'''^ 



AX \ 71 J Aa? 



Par hypothèse, la différence /(x ■+- a^) — /(x -+- ax — h) 

 converge vers zéro à mesure que le nombre n est pris de plus en 

 plus grand. Il s'ensuit que l'équation (0) remplit les mêmes condi- 

 tions que l'équation (8) du n" 5 et qu'en conséquence elle ne cesse 

 point d'impliquer, comme tout à l'heure, la même équation finale : 



(7) Aï/ = Ad^ Mf ^7». 



L'équation (7) subsiste, ainsi qu'on le voit, sous la seule condi- 

 tion que la fonction ij soit et demeure continue dans l'intervalle 

 AA'. Elle comporte en outre une extension qu'il convient d indi- 

 quer. Imaginons qu'à la valeur o^j comprise dans l'intervalle ^a; 

 correspondent, pour y, deux valeurs distinctes qui se rattachent, 

 respectivement et par ^oie de continuité, l'une à celles qui pré- 

 cèdent, l'autre à celles qui suivent immédiatement. Si l'on repré- 

 sente par dïji l'accroissement brusque subi par la fonction y dans 

 le passage de la première à la seconde de ces deux valeurs, il est 

 aisé de voir que, sans rien changer à ce qui précède, on a néces- 

 sairement 



Ay=== ixM'J'^' f'(x) + (^«/,. 



On aurait de mciuc pour le cas de plusieurs changements 



