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ajoutciiit, membre à membre, les cMjuatioiJb (:2). cl (livi:>;mt tle 

 partel d'autre, par ^^ 



Mj f'{x) -t- f'(x -f- h) •+- etc. -t- f'{x -\- {)t — I) h) 



àX II 



^i -^ '<-2 -^ etc. H- Vw 



H 



n 



Imaginons qu'on attribue à n des valeurs de plus en plus 

 grandes. Chacune des quantités y,y, vjij etc., converge alors vers 

 zéro et il en estde même de leur moyenne arithmétique. Concluons 

 que réquation (3) remplit les mêmes conditions que l'équation (8) 

 du n° 3 et qu'elle inq)liquc, comme conséquence, la même équation 

 linale, 



(4) ..y = .a; Mf ^'/-(x). 



Lors(jue la continuité subsiste, la valeur Mi /'(■>>') coïncide 

 nécessairement a\cc ujic des \aleurs ([uc la dériNéc f [x] i)rcnd 

 dans rintervalle ix. On peut donc écrire 



(^)) 2,fJ = SX . /'(X -\- OSX),' 



étant inie quantité qui dépend, en général, de x et de a.i-, et qui 

 reste comprise entre et I. 



On pourrait croire, au premier abord, que l'équation (4) est 

 restreinte au cas où la dérivée f" (x) ne cesse pas d'être continue 

 dans rintervalle sx. Ce serait tnie erreur. Pour que cette équa- 

 tion subsiste, il fauf et il 6uf/it que la lonction )/ := f (x) demeure 

 continue dans l'intervalle que l'on considère. In exeniple sulïira 

 pour éclaircir ce point *. 



* Si Ton voulail étciulro à luu^ les cas possibles la soliilioii doimée dans le 

 texie pour le cas pailieulier oii la dérivée f'{,r) ne cesse d'être eonlimie (juà 

 rextréniité de rinlervalle Sx, on observerait d'abord (jne si cet intervalle est 

 subdivisé en une suite de parties représentées par sx^, Sx^, sx-, etc., on a 

 généralement 



, Au-, M'/ /'(j) -^ Aa-2 M^2 /'(j.) ^ ^ j.^ m;^ f'^,i.) ^ etc. 



wr^^/'(.c) = ^ '-— ' ; 



* SX 



le reste s'achèverait ensuite sans aucune difficulté. 



ÏOME XV. 2 



