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109. Soient deux droites fixes An^ An et une transversale nu' 

 assujettie à détacher un triangle Ami' de surface 

 constante. On demande l'enveloppe des positions 

 successives de la droite iin\ 



Plaçons Torigine en A, et prenons pour axes coor- 

 donnés les droites AnX, A/t'Y. En désignant par « 

 le segment An' et par c^ le produit constant des seg- 

 ments A?î, An\ on a A?î =^— . L'équation générale 

 de la droite nn' est, en conséquence, 



(!)• 





Prenons la dérivée du second membre par rapport à « et éga- 

 lons cette dérivée à zéro. Il vient ainsi 



(2) 2ax = c^ 



De là résulte en substituant dans les équations (4) et (1) 



mi . mu 



(«' •"=-ô^- 



L'équation (5) exprime la propriété suivante que Tellipse et l'hyperbole pré- 

 sentent eu chacun de leurs points ; 



Le jwoduit du rayon de courbure par la perpendiculaire abaissée du 

 centre sur la tangente est égal au produit des segments interceptés sur la 

 tangente entre le point de contact et deux axes quelconques conjugués. 



Si Ton rapproche l'équation (a) de l'équation (10) établie dans le texte (la 

 grandeur représentée par p n'étant autre que la perpendiculaire Oe), on a 



mi . mu . = a'^. 



On est ainsi ramené à cette propriété connue de l'ellipse et de l'hyperbole: 



Le produit des segments interceptés sur une même tangente entre le point 

 de contact et deux axes quelconques conjugués est constant. Il a pour expres- 

 sion le carré du demi-axe parallèle à la tangente. 



Au lieu de procéder, comme nous venons de le faire, par voie de déductions 

 successives, on peut éialilir a priori cette dernière propriété, et remonter à la 

 précédente en se IbiKianl siii- Tequalion (10). 



