( l'^3 ) 

 Combinons l'cquatioii (U) avec les inégalités (7) et (8). Nous 

 aurons en même temj3s 



(10) . V{p) — ¥{m)<u„, -+- u„,^i -+- etc. + u^_^, 

 et 



(11) . F(p) — ¥(m)y '«,,^., + <^„_i.-2 -t- et<'. h- ;/,,. 



La simultanéité des inégalités (10) et(ll) montre que la série (1) 

 est convergente ou divergente, selon que la fonction F (?i) con- 

 \erge ou non vers une limite déterminée pour des valeurs de u 

 indéliniment croissantes. 



Considérons, en ])arti(ulier, la série 



4 1 1 



(v ' ' • ■ • ^» ;^,. ' ^. ' 77' ^'1^^'j 



On a 

 et, par suilc , 



II en résulte, conformément à ce qui précède, que la série (12) 

 est convergente on divergente selon que l'exposant r est, ou non, 

 plus grand (|ue l'unité. 



Re)nar(jfie relative aux séries doni les lermesjie soul pus tous 

 de même signe. — Etant donnée une série dont les différents termes 

 se succèdent sans cesser de présenter des changements de signe, 

 on peut la transformer en prenant tous ses termes positivement. 

 S'il y a convergence api*ès cette transformation, la convergence 

 s'étend délie même à la série donnée. Celle-ci, d'ailleurs, peut 

 être convergente alors que sa transformée ne l'est pas. C'est ainsi, 

 'par exemple, qu'une série dont les termes finissent par converger 

 vers zéro et par prendre altcrnatiNcmcnt des signes contraires est 



