( i^i ; 



finissent par décroître moins vile ou , tout au plus, aussi vite ((u ils 

 le font dans la série 



I 1 1 



— 5 — - — 5 , etc. 



n n -^ \ y* H- 2 



Or, celle-ci est divergente. 11 faut donc qu il cji soit de nièinc de 

 la série (1) , lorsque le prodnit nv. croît avec ti sans jamais dépas- 

 ser l'nnité. 



Indépendamment des règles exposées ci-dessus et choisies parmi 

 les plus simples, il en est encore une que je vais établir comme ap- 

 plication de la théorie des valeurs moyennes à la convergence des 

 séries dont les termes sont tous positifs. 



Soit w„ le terme général de la série (I). Si l'on pose 



on peut admettre qu'à partir dune certaine valeur n = in, la 

 fonction f(n)uc cesse pas de décroître continûment et de conver- 

 ger vers zéro à mesure qu'on attribue à n des valeurs de plus en 

 plus grandes. Cela posé, il est visible que l'on a, dune part 



..w-f-l . i»i'" + '^ ^ ,,'«-+-3 



^l. Un <'Un,, i^l«-fi «. <î^»^-l, >ï».-i-2 <^, <«^«-, -2, etc., 



et, d'autre part, 



__Mi4-l _,w-|-!î 11 "'"{"3 



M„» i(n^ ^m-^iJ >J,n-|-l <'n> "m-f2; Mm4-2 '^, > "m -f 3? ^tC. 



De là résulte, en prenu'er lieu, 



(7) M„, ii,^ -\- >I„..i., (i„-+-^>\,„-^. u„-\- etc. <<^„, + '^„_|-,-^-/^,^.;i-+- etc., 

 et, en second lieu, 



(8) M,,» ■w„-t-M,„4.,i/„H-AU4.2/^-^ etc.>/^„^,4-«„,^2-f-i6,„^.-+ etc. 



On a d'ailleurs , en désignant par F(><) la fonction dont la dérivée 



est /'(y?), 



(t)jiAi;;;^'^/„-4 3i;;;xî<'»-+-etc.-+-3i;;_,?/,.=(/;-y>/)M;;,//,.=F(y>)-F(>y^). 



