( i^î> ) 



Posons // , = . Los séries (I) cl {"2) dcviomienl respect ive- 



ment, la première 



1 1 1 



(5) 1, — . -_-, .-, etc.; 



\ / ^2'" ô'" 4"' 



la seconde 



(4) 1, 2*-'", 4'-"', 8'-'", etc. 



Or, la série (4) est convergente ou divergente *, selon que l'ex- 

 posant m remporte ou non sur l'unité. 11 en est donc de même de 

 la série (o) : convergente pour toute valeur de m supérieure à 1 , 

 elle est divergente pour m=-- 1 et pour toute valeur plus petite. 



Cela posé , selon que le rapport 



lOiÇ )l 



^ r 



log — 



est toujours inférieur à la fraclion quelconque - [tn étant plus 

 grand que I), ou qu'au conirairc il reste au moins égal à l'unité, 

 on a généralement 



I ,. = I 



)i<i — ou bien tr ou — • 

 H'" y n 



Dans le premier cas, il vient 



\ I I 



î/„-+-7/,H-i-^- "'M-5-+-rtc.< --- -4- -: -— -+- — -+- etc.. 



;/' [n -+- I) [li -+- 2)' 



et il V a convergence, puis(juc par liypothcse m est plus grand 

 ([ue 1. 



* Il est visible que la série (i) est une progression géométrique décrois- 

 >aiite ou croissante selon que Pexposant m est, ou non, plus grand que l'unilé 



