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La démonstration qu'il s'agissait de faire se trouve ainsi eom- 

 plélée, et l'on peut dire, en eonséquenee : 



Les roulettes ilècrltes par le foijer de Vtine ou Vautre des sec- 

 tions couiques sont les seules lignes qui , dans leur révolution 

 autour d'une droite, puissent engendrer }(ne surface à coitrhure 

 moyenne constante. 



sommet et le i>oiiit m. Le liiaiigic inbu , reetangle en u, (.lonne immédiate- 

 ment 



(3) . = l/r^-Ç- 



4 



Passons à la quadrature. La vitesse d'accroissement de l'aire décrite par 

 l'ordonnée mb a pour mesure le produit de cette ordonnée par la projection de 

 la vitesse du point m sur la droite LP, ou ce qui revient au même ( la vitesse 

 du point m étant perpendiculaire au rayon vecteur am) le produit de cette vi- 

 tesse par la longueur constante mu. De là résulte, en désignant par A Taire 

 dont il s'agit, 



(4) iA = mu . à(T = , 



et , si l'on prend pour origine le sommet de la chaînette, 



a fl 1/ , «2 



A — -a—-V7f-—= mu 



bu. 



La propriété exprimée par celte équation peut s'énoncer de la manière sui- 

 vante : 



L'aire décrite 2Mr l'ordonnée mh^ à partir du sommet de la chaînette jus- 

 qu'en m, a pour mesure la surface du quadri la 1ère humu'. 



Désignons par P' le rayon de courbure qui correspond au point o dans la 

 développée de la chaînette, et par v la vitesse du point o sur cette développée. 

 On a d'abord 



W 



Or, en vertu de l'égalité qui subsiste entre le rayon cet la normale ??jrt, ilesl 



