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m y l'autre par le point n. Voici d'ailleurs renoncé quil fournit, 

 sous forme fie théorème : 



La différentielle de l'aire engendrée par un segment de droite 

 qui se merit dans un plan entre deux lignes quelconques est égale 

 au produit de ce segment par la vitesse de circulation de son 

 point milieu. 



Cet énoncé général comprend le cas particulier où la droite 

 mobile se meut par translation. On peut d'ailleurs prendre ce cas 

 à part, et le traiter directement ou par la réduction à labsurde. 

 Suivons de préférence ce second procédé qui offre l'avantage d'être 

 en même temps très-simple et d'une application générale à tons 

 les cas analogues. 



Soit z une ordonnée mobile dans un plan el limitée par deux 



Fia. 12. droites fixes ah, cd. L'ordonnée z, représentée 



^ par mn conserve par liy|>olbèse une direction 



';:>^^^Cr^ • constante: elle enajendre ainsi l'aire trapézoïdale 



amnc. Soient A cette aire, et li une droite menée 



cL___ par le point m parallèlement à cd. 



'*^^~~"^~^ <^ L'ordonnée z croît ou décroît selon qu'elle va 

 de gauche à droite ou de droite à gauche au sortir du lieu quel- 

 conque mn. Dans le premier cas, la différentielle dA ne peut être 

 inférieure à zù , ù étant la vitesse de circulation commune à tous 

 les points de la droite mn. Elle est donc égale on supérieure à ce 

 produit. Supposons-la représentée par 



(z -{->])((. 



Il en résulte évidemment que, dans le second cas, elle est repré- 

 sentée en grandeur par 



(z — )i)ù. 



Cela posé, imaginons qu'après avoir fait croître l'aire A d'un e 

 quantité quelconque aA, on la fasse décroître de celte même 

 (luanlité, l'ordonnée z et la vitesse ù repassant f^^i sens inver.se par 



